精度保証付き数値計算

精度保証付き数値計算とは数値計算のすべての誤差を把握して,数学的に正しい結果を数値計算によって得ることをいいます. 私は特に偏微分方程式系の解の精度保証付き数値計算を研究対象としております. 非線形偏微分方程式は解析的に解くことは難しく,コンピュータを利用した数値計算により近似的に解を得ています. しかし,この近似解は解きたい偏微分方程式に全く関係がない解かもしれません. そこで,精度保証付き数値計算を利用することで近似解の近傍に真の解が存在することを示せます.

例えば,非線形偏微分方程式の境界値問題 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} - \varepsilon^2 \Delta{u}= u - u^3 & {\rm{in}}\hspace{0.1cm} \Omega{,}\\ u=0 & {\rm{on}}\hspace{0.1cm} \partial\Omega{,}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} に対し,真の解\(u \in H^1_0(\Omega)\)を求めます. また,連立楕円型偏微分方程式の境界値問題 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\varepsilon^2 \Delta{u}=u-u^3-\delta{v} & {\rm{in}}\hspace{0.1cm} \Omega{,}\\ -\Delta{v}=u-\gamma{v} & {\rm{in}}\hspace{0.1cm} \Omega{,}\\ u=v=0 & {\rm{on}}\hspace{0.1cm} \partial\Omega{,}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} に対し,真の解\(u, v \in H^1_0(\Omega)\)も求めます. ここで,\(\Omega\)は2次元の多角形領域とします.



Introduction to Verified Computation
2015年9月1日,4日に新潟大学で行った精度保証付き数値計算の資料です.
FortranとC言語を用いて連立一次方程式の精度保証付き数値計算法を紹介しています.
特にOpenBLASやLapackの導入方法を詳しく書きました.
(ごめんなさい.参考文献は書いていません...主に大石進一先生の精度保証付き数値計算法,IEEE754 standard)



楕円型連立半線形偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算法
2014年12月26日に早稲田大学で行った 日本応用数理学会 三部会連携「応用数理セミナー」の資料です.
連立楕円型偏微分方程式の精度保証付き数値計算法を紹介しています.
特に線形化作用素の逆作用素のノルム評価について詳しく書きました.
また,さりげなくシグマノルムを導入しています..

波面合成法

音楽再生時にはリアリティが求められており,さらなる再生技術の向上が望まれております. このリアリティが向上すれば,聴取者(聞き手)は実空間にいるような体感や臨場感が得られます. 波面合成法とは,原音と同一の波面をスピーカアレイによって再現することにより,リアリティを向上させる再生手法の一つです.

ライブラリ

VCPライブラリ : C++言語用 精度保証付き線形代数・偏微分方程式用ライブラリ
Fortran用精度保証付き数値計算ライブラリ(非公開)